EOT3 12 ADV — اختبار 30 سؤال (هدف لكل سؤال)

1الهدف 1: إيجاد الدالة الأصلية (Antiderivative)

أوجد الدالة الأصلية: Find the antiderivative.

\int (4\cos x - 3\sin x)\,dx

A) \(4\sin x - 3\cos x + C\)
B) \(-4\sin x + 3\cos x + C\)
C) \(4\sin x + 3\cos x + C\)
D) \(4\cos x + 3\sin x + C\)

2الهدف 2: تكاملات غير محدودة بشروط ابتدائية

جد الدالة \(f(x)\) التي تحقق: Find \(f(x)\) satisfying the given conditions.

f'(x) = 5e^{x} + 2x,\quad f(0) = 3

A) \(f(x) = 5e^{x} + x^{2} + 3\)
B) \(f(x) = 5e^{x} + x^{2} - 2\)
C) \(f(x) = 5e^{x} + 2x^{2} - 2\)
D) \(f(x) = 5e^{x} + x^{2} + 1\)

3الهدف 3: حساب المجموع باستخدام σ

استخدم قواعد المجموع لحساب: Use summation rules to compute the sum.

\sum_{i=1}^{50} (2i - 3)

A) \(2350\)
B) \(2500\)
C) \(2400\)
D) \(2550\)

4الهدف 4: مفهوم التكامل المحدود (Riemann sum)

عبر عن التكامل التالي كنهاية لمجموع ريمان (تقسيم منتظم، نقاط يمين): Express as a limit of a right Riemann sum.

\int_{0}^{2} (x^{2} + 1)\,dx

A) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{2i}{n}\right)^{2}+1\right)\frac{2}{n}\)
B) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{i}{n}\right)^{2}+1\right)\frac{1}{n}\)
C) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2i}{n}+1\right)\frac{2}{n}\)
D) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{4i^{2}}{n^{2}}\right)\frac{2}{n}\)

5الهدف 5: خواص التكامل المحدود

إذا كان \(\displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx = 6\) و \(\displaystyle\int_{1}^{4} g(x)\,dx = -2\)، فأوجد: Evaluate using properties of definite integrals.

\int_{1}^{4} \bigl(3f(x) - 2g(x)\bigr)\,dx

A) \(14\)
B) \(22\)
C) \(10\)
D) \(18\)

6الهدف 6: المساحة تحت المنحنى (هندسيًا)

استخدم الصيغة الهندسية لحساب التكامل (نصف دائرة نصف قطرها 2 فوق المحور \(x\)): Use geometry to evaluate the integral.

\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\,dx

A) \(2\pi\)
B) \(\pi\)
C) \(4\pi\)
D) \(\dfrac{\pi}{2}\)

7الهدف 7: نظرية القيمة المتوسطة للتكامل

جد قيمة \(c\) التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة للتكامل على \([0, 3]\) حيث \(f(x) = x^{2}\): Find \(c\) for the Mean Value Theorem for Integrals.

\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = f(c)\cdot(3-0)

A) \(c = \sqrt{3}\)
B) \(c = 3\)
C) \(c = \sqrt{\dfrac{3}{2}}\)
D) \(c = \dfrac{3}{\sqrt{3}}\)

8الهدف 8: النظرية الأساسية للتكامل (الجزء الأول)

احسب التكامل بدقة: Evaluate using FTC Part I.

\int_{0}^{2} (3x^{2} - 4x + 1)\,dx

A) \(0\)
B) \(4\)
C) \(2\)
D) \(6\)

9الهدف 9: FTC — تكاملات عكسية معروفة

احسب: Evaluate exactly.

\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx

A) \(\dfrac{\pi}{2}\)
B) \(\dfrac{\pi}{4}\)
C) \(\pi\)
D) \(1\)

10الهدف 10: مشتقة دالة معرّفة بتكامل (FTC II)

جد \(f'(x)\) إذا كان: Find \(f'(x)\).

f(x) = \int_{1}^{x} \bigl(t^{3} - 2t\bigr)\,dt

A) \(\dfrac{x^{4}}{4} - x^{2}\)
B) \(3x^{2} - 2\)
C) \(x^{3} - 2x\)
D) \(x^{3} - 2\)

11الهدف 11: معادلة المماس لدالة معرّفة بتكامل

جد معادلة المماس عند \(x = 1\) للمنحنى: Equation of the tangent line at the given point.

y = \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt,\quad x = 1

A) \(y = e^{-1}(x-1)\)
B) \(y = e^{-1}x\)
C) \(y = e^{-1}(x-1) + \displaystyle\int_{0}^{1} e^{-t^{2}}\,dt\)
D) \(y = (x-1) + e^{-1}\)

12الهدف 12: التكامل بالتعويض (غير محدود)

احسب: Find the indefinite integral (substitution).

\int x^{2}\sqrt{x^{3}+4}\,dx

A) \(\dfrac{1}{3}(x^{3}+4)^{3/2}+C\)
B) \(\dfrac{2}{3}(x^{3}+4)^{3/2}+C\)
C) \(\dfrac{2}{9}(x^{3}+4)^{3/2}+C\)
D) \(\dfrac{1}{2}(x^{3}+4)^{3/2}+C\)

13الهدف 13: التعويض في تكاملات أكثر تعقيدًا

احسب: Find the indefinite integral.

\int \frac{x^{2}}{1+x^{6}}\,dx

A) \(\dfrac{1}{6}\tan^{-1}(x^{3})+C\)
B) \(\tan^{-1}(x^{3})+C\)
C) \(\dfrac{1}{2}\tan^{-1}(x^{3})+C\)
D) \(\dfrac{1}{3}\tan^{-1}(x^{3})+C\)

14الهدف 14: المساحة بين منحنيين

أوجد مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيين: Find the area of the region bounded by the curves.

y = x^{2},\qquad y = 4 - x^{2}

A) \(\dfrac{32}{3}\)
B) \(\dfrac{16}{3}\)
C) \(\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\)
D) \(8\)

15الهدف 15: المساحة بالنسبة لـ \(y\)

أوجد مساحة المنطقة المحدودة بـ \(x = y^{2}\) و \(x = 4\): Area with respect to \(y\) (single integral).

A) \(16\)
B) \(\dfrac{16}{3}\)
C) \(8\)
D) \(\dfrac{32}{3}\)

16الهدف 16: الحجم بطريقة الأقراص/الحلقات (washers)

لتكن \(R\) المنطقة المحدودة بـ \(y = 4-2x\) والمحورين \(x\) و \(y\). حجم المجسم الناتج عن دوران \(R\) حول المحور \(x\): Volume of solid of revolution about the \(x\)-axis (disk/washer).

A) \(\dfrac{16\pi}{3}\)
B) \(\dfrac{32\pi}{3}\)
C) \(8\pi\)
D) \(16\pi\)

17الهدف 17: الحجم بالـ washers حول مستقيم

المنطقة المحدودة بـ \(y = 2-x\) و \(y=0\) و \(x=0\). حجم الدوران حول \(y=3\): Volume about \(y=3\).

V = \int_{0}^{2} \pi\Bigl[3^{2} - (3 - (2-x))^{2}\Bigr]\,dx

(أي التكامل المكافئ الصحيح لقيمة الحجم)

A) \(\dfrac{28\pi}{3}\)
B) \(8\pi\)
C) \(\dfrac{16\pi}{3}\)
D) \(4\pi\)

18الهدف 18: طول القوس

التكامل الصحيح لطول القوس لـ \(y = \ln x\) على \([1,3]\): Set up the arc length integral.

A) \(\displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt{1-\dfrac{1}{x^{2}}}\,dx\)
B) \(\displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\,dx\)
C) \(\displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\,dx\)
D) \(\displaystyle\int_{1}^{3}\sqrt{1+x^{2}}\,dx\)

19الهدف 19: مساحة سطح الدوران

التكامل الصحيح لمساحة السطح الناتج عن دوران \(y = e^{x}\) حول المحور \(x\) على \([0,1]\): Surface area of revolution about the \(x\)-axis.

A) \(\displaystyle\int_{0}^{1} 2\pi e^{2x}\,dx\)
B) \(\displaystyle\int_{0}^{1} 2\pi e^{x}\sqrt{1+e^{2x}}\,dx\)
C) \(\displaystyle\int_{0}^{1} \pi e^{2x}\,dx\)
D) \(\displaystyle\int_{0}^{1} 2\pi e^{x}\sqrt{1+e^{x}}\,dx\)

20الهدف 20: مسائل فيزيائية (السرعة والسقوط)

يسقط غطاس من ارتفاع \(30\,\mathrm{ft}\) (مع \(g = 32\,\mathrm{ft/s^{2}}\) وسرعة ابتدائية صفر). السرعة المتجهة لحظة الاصطدام: Impact velocity of a free-falling diver.

A) \(v = -8\sqrt{16}\,\mathrm{ft/s}\)
B) \(v = -4\sqrt{36}\,\mathrm{ft/s}\)
C) \(v = -8\sqrt{30}\,\mathrm{ft/s}\)
D) \(v = -16\sqrt{30}\,\mathrm{ft/s}\)

21الهدف 21: مسائل المقذوفات

قُذف جسم بسرعة ابتدائية \(40\,\mathrm{m/s}\) بزاويتين \(30^\circ\) و \(60^\circ\). أي العبارات صحيحة؟ Projectile motion: time of flight and range at complementary angles.

A) المدى وزمن التحليق متساويان للزاويتين
B) المدى أكبر عند \(30^\circ\) فقط
C) المدى الأفقي متساوٍ للزاويتين، وزمن التحليق أكبر عند \(60^\circ\)
D) المدى أكبر عند \(60^\circ\) وزمن التحليق متساوٍ

22الهدف 22: التكامل بالتجزئة (مفهوم)

احسب: Integration by parts.

\int x\cos x\,dx

A) \(x\sin x - \cos x + C\)
B) \(-x\sin x + \cos x + C\)
C) \(x\cos x - \sin x + C\)
D) \(x\sin x + \cos x + C\)

23الهدف 23: تجزئة لتكاملات محدودة/غير محدودة

احسب: Evaluate using integration by parts.

\int_{0}^{\pi} 2x\cos x\,dx

A) \(4\)
B) \(2\pi\)
C) \(-2\pi\)
D) \(-4\)

24الهدف 24: تكامل \(\sin^{m}x\cos^{n}x\)

احسب: Integrate powers of sine and cosine.

\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}x\sin x\,dx

A) \(\dfrac{2}{3}\)
B) \(\dfrac{1}{2}\)
C) \(\dfrac{3}{4}\)
D) \(\dfrac{1}{3}\)

25الهدف 25: تعويض مثلثي \(x = a\sin\theta\)

التكامل \(\displaystyle\int \dfrac{x^{2}}{\sqrt{16-x^{2}}}\,dx\) يساوي: Trig sub \(x = 4\sin\theta\).

A) \(-8\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x}{4}\right) - \dfrac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}} + C\)
B) \(8\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x}{4}\right) - \dfrac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}} + C\)
C) \(-8\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x}{4}\right) + \dfrac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}} + C\)
D) \(8\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x}{4}\right) + \dfrac{x}{2}\sqrt{16-x^{2}} + C\)

26الهدف 26: تعويض مثلثي \(x = a\sec\theta\)

احسب: Evaluate (secant substitution form / related).

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx

A) \(2\ln\bigl|\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C\)
B) \(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + C\)
C) \(\ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C\)
D) \(\ln\bigl|\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C\)

27الهدف 27: الكسور الجزئية (حالات أساسية)

تفكيك الكسور الجزئية لـ \(\dfrac{x-5}{x^{2}-1}\) هو: Partial fraction decomposition.

A) \(\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{3}{x+1}\)
B) \(\dfrac{3}{x+1} - \dfrac{2}{x-1}\)
C) \(\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x+1}\)
D) \(\dfrac{3}{x-1} + \dfrac{2}{x+1}\)

28الهدف 28: كسور جزئية (عوامل تربيعية متكررة)

تفكيك \(\dfrac{4x^{2}+2}{(x^{2}+1)^{2}}\) هو: Partial fractions with repeated quadratic factors.

A) \(\dfrac{4}{x^{2}+1} + \dfrac{2}{(x^{2}+1)^{2}}\)
B) \(\dfrac{2}{x^{2}+1} + \dfrac{4}{(x^{2}+1)^{2}}\)
C) \(\dfrac{4}{x^{2}+1} - \dfrac{4}{(x^{2}+1)^{2}}\)
D) \(\dfrac{4}{x^{2}+1} - \dfrac{2}{(x^{2}+1)^{2}}\)

29الهدف 29: معادلات من الشكل \(y' = ky\)

حل المعادلة التفاضلية مع الشرط الابتدائي: Solve \(y' = ky\) with initial condition.

y' = -3y,\quad y(0) = 5

A) \(y = -5e^{3t}\)
B) \(y = 5e^{-3t}\)
C) \(y = 5e^{3t}\)
D) \(y = -5e^{-3t}\)

30الهدف 30: معادلات تفاضلية قابلة للفصل

الحل العام للمعادلة: General solution of separable DE.

y' = x\cos^{2} y

A) \(y = \tan^{-1}(x^{2}+C)\)
B) \(y = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C\right)\)
C) \(y = \sec^{-1}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}+C\right)\)
D) \(y = \sec^{-1}(x^{2}+C)\)

اختبار نهاية الفصل الثالث — رياضيات 12 متقدم

مفتاح الإجابات (Answer Key)